Funkcja liczbowa
Funkcją liczbową nazywamy przyporządkowanie, które każdemu liczbowemu \( x \) z pewnego zadanego zbioru przypisuje dokładnie jedną liczbę \( y \).
Oznaczenie: \( y = f(x) \), gdzie:
- \( x \) – zmienna niezależna (argument funkcji),
- \( y \) – zmienna zależna (wartość funkcji).
Zbiór wartości \( x \) nazywany jest dziedziną funkcji (oznaczaną zwykle jako \( D \)).
Zbiór wartości \( y \) nazywany jest obszarem wartości funkcji (oznaczanym zwykle jako \( E \)).
Grafik funkcji to zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych \( (x, f(x)) \).
Sposoby zadania funkcji
- Analityczny sposób: Funkcja jest zadana za pomocą formuły matematycznej.
Przykłady: \( y = x^2 \), \( y = \ln x \). - Tablicowy sposób: Funkcja jest zadana za pomocą tabeli.
Przykład:\( x \) 1 2 3 4 5 \( y \) 2 4 6 8 10 - Opisowy sposób: Funkcja jest zadana opisem słownym.
Przykład: Funkcja Dirichleta \( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \text{ wymiernych}, \\ 0 & \text{dla } x \text{ niewymiernych}. \end{cases} \) - Graficzny sposób: Funkcja jest zadana za pomocą wykresu.
* Wszystkie parametry funkcji, w tym współczynniki wielomianów, są uważane za rzeczywiste.
Parzystość i nieparzystość funkcji
Funkcja parzysta
Funkcja nazywana jest parzystą, jeśli:
- Dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera,
- Dla każdego \( x \) z dziedziny funkcji zachodzi \( f(-x) = f(x) \).
Własność graficzna: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \( y \).
Przykłady funkcji parzystych:
- \( y = x^{2n} \), gdzie \( n \in \mathbb{Z} \),
- \( y = \cos x \).
Funkcja nieparzysta
Funkcja nazywana jest nieparzystą, jeśli:
- Dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera,
- Dla każdego \( x \) z dziedziny funkcji zachodzi \( f(-x) = -f(x) \).
Własność graficzna: Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Przykłady funkcji nieparzystych:
- \( y = x^{2n+1} \), gdzie \( n \in \mathbb{Z} \),
- \( y = \sin x \).
Funkcje ani parzyste, ani nieparzyste
Wiele funkcji nie spełnia warunków ani parzystości, ani nieparzystości.
Przykłady funkcji, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste:
- \( y = e^x \),
- \( y = \ln x \),
- \( y = x^2 + 1 \),
- \( y = (x + 1)^2 \).
Przykład graficzny: Wykres funkcji, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, nie wykazuje symetrii ani względem osi \( y \), ani względem początku układu współrzędnych.
Okresowość funkcji
Definicja
Funkcja \( f(x) \) nazywana jest okresową (periodyczną) z okresem \( T > 0 \), jeśli dla każdego \( x \) z dziedziny funkcji wartości \( x + T \) i \( x - T \) również należą do dziedziny, a zachodzi równość:
\( f(x) = f(x + T) = f(x - T). \)
W takim przypadku każde число postaci \( T \cdot n \), gdzie \( n \in \mathbb{N} \), również jest okresem tej funkcji.
Własność graficzna
Wykres funkcji periodycznej składa się z nieograniczenie powtarzających się identycznych fragmentów. Aby skonstruować wykres takiej funkcji:
- Narysuj fragment wykresu na dowolnym odcinku o długości \( T \) (np. \([0; T]\)),
- Następnie wykonuj kolejne równoległe przesunięcia tego fragmentu o \( T \), \( 2T \), \( 3T \) itd. wzdłuż osi \( x \) (w obie strony: w prawo i w lewo).
Zera funkcji
Zerem funkcji \( y = f(x) \) nazywa się taka wartość argumentu \( x_0 \), przy której funkcja przyjmuje wartość zero:
\( f(x_0) = 0 \).
W zerach funkcji jej wykres ma wspólną punkt z osią \( x \).
Ilustracja: \( x_1, x_2, x_3 \) - zera funkcji \( y = f(x) \).
Monotoniczność (rosnące, malejące)
Funkcja \( y = f(x) \) nazywana jest **rosnącą** na interwale \((a; b)\), jeśli dla dowolnych \( x_1 \) i \( x_2 \) z tego interwału, takich że \( x_1 < x_2 \), zachodzi nierówność:
\( f(x_1) < f(x_2) \).
Funkcja \( y = f(x) \) nazywana jest **malejącą** na interwale \((a; b)\), jeśli dla dowolnych \( x_1 \) i \( x_2 \) z tego interwału, takich że \( x_1 < x_2 \), zachodzi nierówność:
\( f(x_1) > f(x_2) \).
Ekstremum (maksimum i minimum)
Wewnętrzna punkt \( x_{max} \) dziedziny nazywana jest **punktem maksimum**, jeśli dla wszystkich \( x \) z pewnego otoczenia tej точки zachodzi nierówność:
\( f(x) < f(x_{max}) \).
Wartość \( y_{max} = f(x_{max}) \) nazywana jest **maksimum** tej funkcji.
Wewnętrzna punkt \( x_{min} \) dziedziny nazywana jest **punktem minimum**, jeśli dla wszystkich \( x \) z pewnego otoczenia tej точки zachodzi nierówność:
\( f(x) > f(x_{min}) \).
Wartość \( y_{min} = f(x_{min}) \) nazywana jest **minimum** tej funkcji.
Ilustracja:
(-1, 2) - punkt maximum lokalnego,
(2, -1) - punkt minimum lokalnego.
Asymptoty
Jeśli wykres funkcji \( y = f(x) \) posiada gałąź (lub gałęzie) nieskończoną, wykres może mieć asymptoty.
**Asymptotą** wykresu nazywa się prostą, do której nieskończenie zbliżają się punkty wykresu, gdy te punkty oddalają się wzdłuż gałęzi nieskończonej.
Rodzaje asymptot
- Asymptota pionowa: Prosta \( x = a \) jest asymptotą pionową, jeśli co najmniej jedna z granic \( \lim_{x \to a+0} f(x) \) (granica z prawej) lub \( \lim_{x \to a-0} f(x) \) (granica z lewej) równa się nieskończoności.
- Asymptota pozioma: Prosta \( y = b \) jest asymptotą poziomą, jeśli istnieją skończone granice \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \) lub \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = b \).
- Asymptota skośna: Prosta \( y = kx + b \) jest asymptotą skośną, jeśli istnieją skończone granice \( k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \) i \( b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) \), lub odpowiednio przy \( x \to -\infty \).
Ilustracje: \( x = a \) - asymptota pionowa, \( y = b \) - asymptota pozioma, \( y = kx + b \) - asymptota skośna.
Funkcje odwrotne
Pojęcie funkcji odwrotnej dotyczy funkcji posiadających następującą właściwość: każdemu wartości \( y \) z obszaru wartości funkcji odpowiada dokładnie jedna wartość \( x \) z obszaru definicji tej funkcji.
Uwaga: Dla wielu funkcji ta właściwość zachodzi tylko na części obszaru definicji, w szczególności na dowolnym przedziale monotoniczności (dla funkcji \( y = x^2 \) takim przedziałem jest np. półprosta \([0; \infty)\), dla funkcji \( y = \sin x \) odcinek \([- \pi/2; \pi/2]\)).
Definicja: Funkcja nazywana jest odwrotną dla funkcji \( f \), jeśli każdemu \( y \) z obszaru wartości funkcji \( f \) przypisuje takie \( x \) z obszaru definicji funkcji \( f \), że \( y = f(x) \). W ten sposób, jeśli \( y = f(x) \), to \( x = g(y) \). Funkcje \( f \) i \( g \) są wzajemnie odwrotne.
- Obszar definicji funkcji \( f \) jest obszarem wartości funkcji \( g \), a obszar wartości funkcji \( f \) jest obszarem definicji funkcji \( g \).
- Wykresy wzajemnie odwrotnych funkcji są symetryczne względem prostej \( y = x \) (sposób budowy wykresu funkcji odwrotnej zob. na str. 23).
Przykłady wzajemnie odwrotnych funkcji:
- \( y = x^{3n} \) i \( y = \sqrt[n]{x} \),
- \( y = 2^x \) i \( y = \log_2 x \).
Znajdowanie wzoru dla funkcji odwrotnej danej
Korzystając z wzoru \( y = f(x) \), należy wyrazić \( x \) przez \( y \), a w uzyskanej formule \( x = g(y) \) zamienić \( x \) na \( y \), a \( y \) na \( x \).
Przykład: Znaleźć wzór dla funkcji odwrotnej funkcji \( y = \frac{1}{x+1} \).
- Wyrażenie \( x \) przez \( y \): \( x = \frac{1}{y} - 1 \).
- Zamiana \( x \) na \( y \), \( y \) na \( x \): \( y = \frac{1}{x} - 1 \) (po uproszczeniu \( y = \frac{x-1}{x} \), ale poprawna forma wymaga sprawdzenia kontekstu).
Uwaga: W podanym przykładzie \( y = x + 1 \) wydaje się być błędem – prawdopodobnie chodziło o \( y = \frac{1}{x+1} \). Poprawny przykład: dla \( y = x + 1 \), \( x = y - 1 \), po zamianie \( y = x - 1 \). Dla \( y = 3x + 1 \), \( x = \frac{y - 1}{3} \), po zamianie \( y = \frac{x - 1}{3} \). Dla \( y = 2x - 2 \), \( x = \frac{y + 2}{2} \), po zamianie \( y = \frac{x + 2}{2} \).